等号当且仅当.即.即时成立．——青夏教育精英家教网——

摘要：等号当且仅当.即.即时成立．

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n个正数a₁，a₂，…，a_n的算术－几何平均不等式．

对于n个正数a₁，a₂，…，a_n，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥________．

当且仅当________时，等号成立．

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=（a，b），

=（m，n），其中a，b，m，n∈R，由不等式|

|恒成立，可以证明（柯西）不等式（am+bn）²≤（a²+b²）（m²+n²）（当且仅当

，即an=bm时等号成立），己知x，y∈R⁺，若

恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是

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已知问题“设正数x，y满足

=1，求x+y的最值”有如下解法；
设

=sin2α，α∈(0，

)，
则x=sec²α=1+tan²α，y=2csc²α=2（1+cot²α），
所以，x+y=3+tan2α+2cot2α=3+tan2+

，等号成立当且仅当tan2α=

．
（1）参考上述解法，求函数y=

的最大值．
（2）求函数y=2

(x≥0)的最小值．

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已知函数，

（1）求函数的定义域；

（2）求函数在区间上的最小值；

（3）已知，命题p：关于x的不等式对函数的定义域上的任意恒成立；命题q：指数函数是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

【解析】第一问中，利用由即

第二问中，，得：

，

第三问中，由在函数的定义域上的任意，，当且仅当时等号成立。当命题p为真时，；而命题q为真时：指数函数．因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以

当命题p为真，命题q为假时；当命题p为假，命题q为真时分为两种情况讨论即可。

解：（1）由即

（2），得：

，

（3）由在函数的定义域上的任意，，当且仅当时等号成立。当命题p为真时，；而命题q为真时：指数函数．因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以

当命题p为真，命题q为假时，

当命题p为假，命题q为真时，，

所以

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请先阅读：

设平面向量=（a₁，a₂），=（b₁，b₂），且与的夹角为è，

因为•=||||cosè，

所以•≤||||．

即，

当且仅当è=0时，等号成立．

（I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a₁，a₂，a₃，b₁，b₂，b₃∈R，都有成立；

（II）试求函数的最大值．

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