Question

设向量

α

=（a，b），

β

=（m，n），其中a，b，m，n∈R，由不等式|

α

•

β

|≤|

α

|•|

β

|恒成立，可以证明（柯西）不等式（am+bn）²≤（a²+b²）（m²+n²）（当且仅当

α

∥

β

，即an=bm时等号成立），己知x，y∈R⁺，若

x

+3

y

＜k•

x+y

恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由（am+bn）²≤（a²+b²）（m²+n²），可得(

x

+3

y

)2≤（1+9）（x+y），结合x，y∈R⁺，

x

+3

y

＜k•

x+y

恒成立，即可求得实数k的取值范围．

解答：解：∵（am+bn）²≤（a²+b²）（m²+n²），
∴(

x

+3

y

)2≤（1+9）（x+y），
∴

x

+3

y

≤

10

•

x+y

，
∵x，y∈R⁺，

x

+3

y

＜k•

x+y

恒成立，
∴k＞

10

．
故答案为：k＞

10

．

点评：本题考查柯西不等式，考查学生运用数学知识解决问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．