如图，四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱．

　（１）求三棱锥的体积；

　（２）求直线与平面所成角的正弦值；

　（３）若棱上存在一点，使得，当二面角的大小为时，求实数的值．

【解析】（1）在中，

.                 （3’）

（2）以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

       （4’）

,设平面的法向量为，

由得，                                             （5’）

则，

.  （7’）

（3）

设平面的法向量为，由得，      （10’）

利用计算机随机模拟方法计算与所围成的区域的面积时，可以先运行以下算法步骤：

第一步：利用计算机产生两个在区间内的均匀随机数；

第二步：对随机数实施变换：得到点；

第三步：判断点的坐标是否满足；

第四步：累计所产生的点的个数，及满足的点的个数；

第五步：判断是否小于（一个设定的数）.若是，则回到第一步，否则，输出并终止算法.

若设定的，且输出的，则据此用随机模拟方法可以估计出区域的面积为

            （保留小数点后两位数字）．

利用计算机随机模拟方法计算与所围成的区域的面积时，可以先运行以下算法步骤：
第一步：利用计算机产生两个在区间内的均匀随机数；
第二步：对随机数实施变换：得到点；
第三步：判断点的坐标是否满足；
第四步：累计所产生的点的个数，及满足的点的个数；
第五步：判断是否小于（一个设定的数）.若是，则回到第一步，否则，输出并终止算法.
若设定的，且输出的，则据此用随机模拟方法可以估计出区域的面积为
            （保留小数点后两位数字）．

如图，在四棱锥中，⊥底面，底面为正方形，，，分别是，的中点．

（I）求证：平面；

（II）求证：；

（III）设PD=AD=a, 求三棱锥B-EFC的体积.

【解析】第一问利用线面平行的判定定理，，得到

第二问中，利用，所以

又因为，，从而得

第三问中，借助于等体积法来求解三棱锥B-EFC的体积.

（Ⅰ）证明： 分别是的中点，    

，．       …4分

（Ⅱ）证明：四边形为正方形，．

， ．

， ，

．，．    ………8分

（Ⅲ）解：连接AC,DB相交于O,连接OF, 则OF⊥面ABCD,

∴