（2012•增城市模拟）已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，且当n＞1时，2a_n=a_n-1+a_n+1恒成立．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=a₁+a₂+…+a_n，求和

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

（2012•盐城一模）对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a-x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．
（1）判断函数f（x）=4^x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；
（2）已知函数g（x）是“（1，4）型函数”，当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤3成立，且当x∈[0，1]，g（x）=x²+m（1-x）+1（m＞0）．试求m的取值范围．

（2011•东城区二模）已知a，b为两个正数，且a＞b，设a₁=

a+b

2

，b₁=

ab

，当n≥2，n∈N^*时，a_n=

an-1+bn-1

2

，b_n=

an-1bn-1

．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是递减数列，数列{b_n}是递增数列；
（Ⅱ）求证：a_n+1-b_n+1＜

1

2

（a_n-b_n）；
（Ⅲ）是否存在常数C＞0使得对任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，若存在，求出C的取值范围；若不存在，试说明理由．

已知函数f（x）=x²+2aln（1-x）（a∈R），g（x）=f（x）-x²+x．
（1）当a=

1

2

时，求函数g（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）在[-1，1）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）若数列{a_n}满足a₁=1，且（n+1）a_n+1=na_n，S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：当n≥2时，S_n＜1+lnn．