Question

（2012•增城市模拟）已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，且当n＞1时，2a_n=a_n-1+a_n+1恒成立．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=a₁+a₂+…+a_n，求和

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

Answer 1

分析：（1）将已知的等式左边写为两项之和a_n+a_n，移项后，利用此递推式列出等式，将已知的a₁=1，a₂=2代入，可得出相邻两项之差为定值，进而确定出数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，由首项和公差即可写出等差数列的通项公式；
（2）由（1）得出的等差数列的通项公式列举出数列的各项之和，并利用等差数列的前n项和公式化简，得出S_n的通项，代入

1

Sn

中，利用拆项法变形，列举出所求式子的各项，抵消合并后即可得到所求式子的结果．

解答：解：（1）∵当n＞1时，2a_n=a_n-1+a_n+1，且a₁=1，a₂=2，
∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=a_n-1-a_n-2=…=a₂-a₁=2-1=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴a_n=n；
（2）∵S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

1×2

+

2

2×3

+…+

2

n(n+1)

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）．

点评：此题考查了等差数列的性质，等差数列的求和公式，等差数列的确定，以及等差数列的通项公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．