Question

（2012•盐城一模）对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a-x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．
（1）判断函数f（x）=4^x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；
（2）已知函数g（x）是“（1，4）型函数”，当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤3成立，且当x∈[0，1]，g（x）=x²+m（1-x）+1（m＞0）．试求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据给出的新定义，当f（x）=4^x时，定义中的等式化为16^a=b，显然使该式成立的数对存在，从而说明函数f（x）=4^x是“（a，b）型函数”；
（2）由函数g（x）是“（1，4）型函数”，得到g（1+x）g（1-x）=4，变形后得到g(x)=

4

g(2-x)

，若x∈[1，2]，则2-x∈[0，1]，由函数g（x）在[0，1]上的值域即可得到函数在[1，2]上的值域，而函数g（x）在[0，1]上的解析式已给出，利用分类讨论求出g（x）在[0，1]上的值域，取并集后结合1≤g（x）≤3求解m的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）=4^x是“（a，b）型函数”．
因为由f（a+x）•f（a-x）=b，得4^a+x•4^a-x=16^a=b，所以存在这样的实数对，如a=1，b=16．
（2）由题意得，g（1+x）g（1-x）=4，所以当x∈[1，2]时，g(x)=

4

g(2-x)

，其中2-x∈[0，1]，
而x∈[0，1]时，g（x）=x²+m（1-x）+1=x²-mx+m+1＞0，且其对称轴方程为x=

m

2

，
①当

m

2

＞1，即m＞2时，g（x）在[0，1]上的值域为[g（1），g（0）]，即[2，m+1]，
则g（x）在[0，2]上的值域为[2，m+1]∪[

4

m+1

，2]=[

4

m+1

，m+1]，
由题意得

m+1≤3 4 m+1 ≥1

，此时无解．
②当

1

2

≤

m

2

≤1，即1≤m≤2时，g（x）的值域为[g(

m

2

)，g(0)]，即[m+1-

m2

4

，m+1]，
所以则g（x）在[0，2]上的值域为[m+1-

m2

4

，m+1]∪[

4

m+1

，

4

m+1- m2 4

]，
则由题意得

4 m+1- m2 4 ≤3 m+1≤3

且

m+1- m2 4 ≥1 4 m+1 ≥1

，解得1≤m≤2．
③当0＜

m

2

≤

1

2

，即0＜m≤1时，g（x）的值域为[g(

m

2

)，g(1)]，即[m+1-

m2

4

，2]，
则g（x）在[0，2]上的值域为[m+1-

m2

4

，2]∪[2，

4

m+1- m2 4

]，
=[m+1-

m2

4

，

4

m+1- m2 4

]，
则

m+1- m2 4 ≥1 4 m+1- m2 4 ≤3

，解得：2-

2 6

3

≤m≤1．
综上所述，所求m的取值范围是2-

2 6

3

≤m≤2．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数的值域，考查了分类讨论得数学思想，解答此题的关键是对（2）中函数g（x）的值域的求法，属中档题．