摘要：因为过点Pn-1(
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已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3 ∴a＝1, f(x)＝x3－3x
(2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6
然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依题意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3 ∴a＝1 ∴f(x)＝x3－3x
(2)设切点为(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切线过点A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．
∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2
画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，
所以m的取值范围是(－6,2)．
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设a＞0，如图，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x2，C上的点Q1的横坐标为a1（0＜a1＜a）．从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点Pn+1，再从点Pn+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1．Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{an}．（Ⅰ）试求an+1与an的关系，并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）当a=1，a1≤
| 1 |
| 2 |
| n |
 |
| k=1 |
| 1 |
| 32 |
（Ⅲ）当a=1时，证明
| n |
|
| k-1 |
| 1 |
| 3 |
点Pn（xn，yn）在曲线C：y=e-x上，曲线C在点Pn处的切线ln与x轴相交于点Qn（xn+1，0），直线tn+1：x=xn+1与曲线C相交于点Pn+1（xn+1，yn+1），（n=1，2，3，…）．由曲线C和直线ln，tn+1围成的图形面积记为Sn，已知x1=1．（Ⅰ）证明：xn+1=xn+1；
（Ⅱ）求Sn关于n的表达式；
（Ⅲ）记数列{Sn}的前n项之和为Tn，求证：
| Tn+1 |
| Tn |
| xn+1 |
| xn |
设点An（xn，0），Pn（xn，2n-1）和抛物线Cn：y=x2+anx+bn（n∈N*），其中an=-2-4n-
，xn由以下方法得到：x1=1，点P2（x2，2）在抛物线C1：y=x2+a1x+b1上，点A1（x1，0）到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点Pn+1（xn+1，2n）在抛物线Cn：y=x2+anx+bn上，点An（xn，0）到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离．
（Ⅰ）求x2及C1的方程．
（Ⅱ）证明{xn}是等差数列． 查看习题详情和答案>>
| 1 | 2n-1 |
（Ⅰ）求x2及C1的方程．
（Ⅱ）证明{xn}是等差数列． 查看习题详情和答案>>
如图，过曲线C：y=e-x上一点P0（0，1）做曲线C的切线l0交x轴于Q1（x1，0）点，又过Q1做x轴的垂线交曲线C于P1（x1，y1）点，然后再过P1（x1，y1）做曲线C的切线l1交x轴于Q2（x2，0），又过Q2做x轴的垂线交曲线C于P2（x2，y2），…，以此类推，过点Pn的切线ln与x轴相交于点Qn+1（xn+1，0），再过点Qn+1做x轴的垂线交曲线C于点Pn+1（xn+1，yn+1）（n=1，2，3，…）．（1）求x1、x2及数列{xn}的通项公式；
（2）设曲线C与切线ln及垂线Pn+1Qn+1所围成的图形面积为Sn，求Sn的表达式；
（3）若数列{Sn}的前n项之和为Tn，求证：
| Tn+1 |
| Tn |
| xn+1 |
| xn |