Question

设a＞0，如图，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x²，C上的点Q₁的横坐标为a₁（0＜a₁＜a）．从C上的点Q_n（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点P_n+1，再从点P_n+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Q_n+1．Q_n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{a_n}．
（Ⅰ）试求a_n+1与a_n的关系，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当a=1，a1≤

1

2

时，证明

n

k=1

(ak-ak+1)ak+2＜

1

32

；
（Ⅲ）当a=1时，证明

n

k-1

(ak-ak+1)ak+2＜

1

3

．．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据Q_n，P_n+1，Q_n+1的坐标进而求得an+1=

1

a

•

a

2 n

，进而通过公式法求得{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）把a=1代入an+1=

1

a

•

a

2 n

，根据a1≤

1

2

可推断a2≤

1

4

，a3≤

1

16

，由于当k≥1时，ak+2≤a3≤

1

16

．进而可知(ak-ak+1)ak+2≤

1

16

(ak-ak+1)=

1

16

(a1-an+1)＜

1

32

．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时，an=

a

2n-1 1

代入

n

k-1

(ak-ak+1)ak+2中，进而根据

n

k=1

(ak-ak+1)ak+2≤

2n-1

i=1

 (

a

1 i

-

a

1 i+1

)

a

1 2i+2

证明原式．

解答：（Ⅰ）解：∵Qn(an-1，

a

2 n

)，Pn+1(

1

a

•

a

2 n

，

a

2 n

)，Qn+1(

1

a

•

a

2 n

，

1

a2

a

4 n

)．
∴an+1=

1

a

•

a

2 n

，
∴an=

1

a

•

a

2 n-1

=

1

a

(

1

a

•

a

2 n-2

)2=(

1

a

)1+2

a

22 n-2

=(

1

a

)1+2(

1

a

•

a

2 n-3

)22=(

1

a

)1+2+22

a

23 n-2

=(

1

a

)1+2+…+2n-2

a

2n+1 1

=(

1

a

)2n-1-1

a

2n-1 1

=a(

a1

a

)2n-1，
∴an=a(

a1

a

)2n-1．

（Ⅱ）证明：由a=1知a_n+1=a_n²，
∵a1≤

1

2

，∴a2≤

1

4

，a3≤

1

16

．
∵当k≥1时，ak+2≤a3≤

1

16

．
∴(ak-ak+1)ak+2≤

1

16

(ak-ak+1)=

1

16

(a1-an+1)＜

1

32

；

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，an=

a

2n-1 1

，
因此

n

k=1

(ak-ak+1)ak+2=

n

k=1

(

a

2k-1 1

-

a

2k 1

)

a

2k+1 1

≤

2n-1

i=1

(

a

i 1

-

a

i+1 1

)

a

2i+2 1

=(1-a1)

a

2 1

2n-1

i=1

a

3i 1

＜(1-a1)

a

2 1

•

a 3 1

1- a 3 1

=

a 5 1

1+a1+ a 2 1

＜

1

3

．

点评：本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，