摘要： 抽象函数:抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式.只给出了其它一些条件(如函数的定义域.单调性.奇偶性.解析递推式等)的函数问题.求解抽象函数问题的常用方法是: (1)借鉴模型函数进行类比探究.几类常见的抽象函数 : ①正比例函数型: ---------------, ②幂函数型: --------------., ③指数函数型: ------------., ④对数函数型: -----., ⑤三角函数型: ----- .如已知是定义在R上的奇函数.且为周期函数.若它的最小正周期为T.则 (2)利用函数的性质(如奇偶性.单调性.周期性.对称性等)进行演绎探究:如(1)设函数表示除以3的余数.则对任意的.都有 A. B. C. D.设是定义在实数集R上的函数.且满足.如果..求如设是定义在上的奇函数.且.证明:直线是函数图象的一条对称轴,(4)已知定义域为的函数满足.且当时.单调递增.如果.且.则的值的符号是 (3)利用一些方法(如赋值法(令＝0或1.求出或.令或等).递推法.反证法等)进行逻辑探究.如(1)若.满足 .则的奇偶性是 若.满足 .则的奇偶性是 已知是定义在上的奇函数.当时.的图像如右图所示.那么不等式的解集是 (答:),(4)设的定义域为.对任意.都有.且时..又.①求证为减函数,②解不等式.(答:)．
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2、抽象函数的定义域的求解：
（1）若函数f（x）的定义域为[-1，2]，则函数f（x-1）的定义域为
（2）若函数f（x2-1）的定义域为[-1，2]，则函数f（x+1）的定义域为
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（1）若函数f（x）的定义域为[-1，2]，则函数f（x-1）的定义域为
[0，3]
；（2）若函数f（x2-1）的定义域为[-1，2]，则函数f（x+1）的定义域为
[-2，2]
．（2003•朝阳区一模）抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的．如正比例函数f（x）=kx（k≠0），f（x1）=kx1，f（x2）=kx2，f（x1+x2）=k（x1+x2）=kx1+kx2=f（x1）+f（x2）可抽象为f（x+y）=f（x）+f（y）．写出下列抽象函数是由什么特殊函数抽象而成的（填入一个函数即可）．
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| 特殊函数 | 抽象函数 | ||
f（x）=xα f（x）=xα |
f（xy）=f（x）f（y） | ||
f（x）=ax（a＞0且a≠1） f（x）=ax（a＞0且a≠1） |
f（x+y）=f（x）f（y） | ||
f（x）=logax（a＞0且a≠1） f（x）=logax（a＞0且a≠1） |
f（xy）=f（x）+f（y） | ||
f（x）=tanx f（x）=tanx |
f（x+y）=
|
抽象函数所恒满足的条件通常是以具体函数为蓝本归纳出来的,比如:若函数
对于任意的
,恒满足
,那么函数可以以
作为蓝本.
若函数
对于任意的
,恒满足
,则函数可以以函
数__________作为蓝本.
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的定义域为
且
，对任意
都有
满足
N
.证明函数
的通项公式;令
N
时,
.