Question

（2003•朝阳区一模）抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的．如正比例函数f（x）=kx（k≠0），f（x₁）=kx₁，f（x₂）=kx₂，f（x₁+x₂）=k（x₁+x₂）=kx₁+kx₂=f（x₁）+f（x₂）可抽象为f（x+y）=f（x）+f（y）．写出下列抽象函数是由什么特殊函数抽象而成的（填入一个函数即可）．

特殊函数	抽象函数
f（x）=xα	f（xy）=f（x）f（y）
f（x）=ax（a＞0且a≠1）	f（x+y）=f（x）f（y）
f（x）=logax（a＞0且a≠1）	f（xy）=f（x）+f（y）
f（x）=tanx	f（x+y）= f(x)+f(y) 1-f(x)f(y)

Answer 1

分析：根据表格中给出抽象函数的性质，联想到相应的基本初等函数，再根据它们的定义依次加以验证，即可得到各个空格里应该填上的函数类型，从而得到答案．

解答：解：∵幂函数f（x）=x^α，满足f（xy）=（xy）^α=x^α•y^α=f（x）f（y）
∴表格第一行应该填上f（x）=x^α，
∵指数函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1），满足f（x+y）=a^x+y=a^x•a^y=f（x）f（y）
∴表格第二行应该填上f（x）=a^x（a＞0且a≠1），
∵对数函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），满足f（xy）=log_axy=log_ax+log_ay=f（x）+f（y）
∴表格第三行应该填上f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
又∵正切函数f（x）=tanx，满足f（x+y）=tan（x+y）=

tanx+tany

1-tanxtany

=

f(x)+f(y)

1-f(x)f(y)

∴表格最后一行应该填上f（x）=tanx
故答案为：f（x）=x^α，f（x）=a^x（a＞0且a≠1），f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），f（x）=tanx

点评：本题给出满足条件的抽象函数，要我们找出符合条件的具体函数．着重考查了基本初等函数的性质和抽象函数具体具体化的方法等知识，属于中档题．