摘要：4．已知曲线C:y=x3-3x2+2x.直线l:y=kx.且直线l与曲线C相切于点(x0.y0)(x0≠0).求直线l的方程及切点坐标. 例5．在曲线y=x3-x上有两个点O(0.0).A(2.6).求弧OA上点P的坐标.使△AOP的面积最大. ［剖析］本题主要考查数形结合的数学思想及导数的几何意义.由于|OA|是定值,所以若将点P的位置转化到与曲线y=x3-x相切且与OA平行的位置.此时点P到|OA|的距离最大;也可设点.构造目标函数求最值. ［解］解法一:因为kOA=3.所以过弧OA上点P的直线的斜率k′=kOA=3. 所以k′=y′=3x2-1=3.所以3x2=4. 所以x=或x=- . 所以x=,y=.即P(.). 解法二:设P(a,a3-a),∵O(0,0).A(2,6),∴直线OA的方程为3x-y=0. 点P到它的距离为d==|a3-4a|, ∵0＜a＜2,∴4a＞a3.∴d= (4a-a3). ∵(d)′= (4-3a2),令4-3a2=0,得a=或a=-. ∵0＜a＜2,∴x=a=时取最大值.此时y=()3-=. ∴P(.). ［警示］利用导数求曲线的切线方程.几乎是新课程高考每年必考的内容.既有可能出现在选择.填空题中.也有可能出现在解答题中. 在这类问题中.导数所担负的任务是求出其切线的斜率.这类问题的核心部分是考查函数的思想方法与解析几何的基本思想. ［变式训练］

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