摘要：15．(2009·湖北省重点中学联考·理)已知正项数列{an}.{bn}.对任意n∈N*.有an＝.b≤bn-bn+1.数列{an}的前n项和为Sn.求证: (1)bn<an, (2)b1+b2+b3+-+b2n-1<n, (3)当n≥2时.S>2． 解:(1)因为0<bn+1≤bn-b＝bn(1-bn).所以0<bn<1. 则≥＝+.-≥>1. 所以＝+>1+1+-+1＝n. 则bn<.即bn<an. 得 b1+b2+b3+-+b2n-1<1+++-+ ＝1+<1+·2+·22+-+·2n-1＝n. (3)Sn＝1++-+.当n≥2时.Sn-1＝Sn-. ∴S＝(Sn-)2＝S-+. 则S-S＝-. 依次类推.-.S-S＝-.上述n-1个式子相加得 S-S＝2. ∴S＝2+1. 又++-+<++-+ ＝1-+-+-+-＝1-<1. ∴S>2．

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