Question

（2009•宜昌模拟）设b、c∈{1，2，3，4，5，6}，用随机变量ξ表示方程2x²+cx+b=0实根的个数（重根按一个计）．
（1）求方程2x²+cx+b=0有实根的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件根据分步计数原理知是36，满足条件的事件是方程2x²+cx+b=0有实根包括有一个实根，有两个实根，这两种结果是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．
（2）由题意知实根的个数只有三种结果，0、1、2，根据上一问的计算可以写出当变量取值时对应的概率，写出分布列，算出期望．

解答：解：（1）记“方程2x²+cx+b=0有且仅有一个实根”为事件B，“方程2x²+cx+b=0 有两个相异实数”为事件A．
c，b分别取1到6，基本事件总数为36种．
事件B需要满足c²-8b=0，按序穷举可得，c=4时b=2符合，
其概率为 P（B）=

1

36

                …（2分）
事件A需要满足c²-8b＞0，按序穷举可得，c=3时b=1；c=4时b=1；c=5时b=1，2，3；c=6时b=1，2，3，4．合计9种．其概率为P（A）=

9

36

=

1

4

．…（5分）
又因为B，A是互斥事件，故所求概率
P=P（B）+P（A）=

1

36

+

9

36

=

5

18

．          …（6分）
（2）由题意，ξ的可能取值为0，1，2．
P（ξ=1）=

1

36

P（ξ=2）=

9

36

P（ξ=0）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=

26

36

．…（8分）
故ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	26 36	1 36	9 36

…（9分）
所以ξ的数学期望Eξ=0×

26

36

+1×

1

36

+2×

9

36

=

19

36

．…（12分）

点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和古典概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另一个知识点，本题考查一元二次方程的解．