摘要：由绝对值的定义引发的讨论 例8．已知等比数列中.分别是某等差数列的第5项.第3项.第2项.且.公比, (1)求 (2)设.求数列的前n项和. 分析:由已知条件求得.从而得到.在求数列的前n项和时.要根据绝对值的定义将绝对值的符号去掉.再求和. 解:(Ⅰ)依题意得 又 (Ⅱ) 评注:本题为由绝对值的定义引发的分类讨论.注意最后要整合所求的答案.即用分段函数表示出数列的前n项和的解析式. 例9．已知函数.(为常数)．函数定义为:对每个给定的实数. (1)求对所有实数成立的充分必要条件(用表示), (2)设是两个实数.满足.且．若.求证:函数在区间上的单调增区间的长度之和为(闭区间的长度定义为) 分析:由于题目所给的条件就是分段函数.注意到其使用的前提条件.就可以进行转化.根据时.就要注意满足和不满足(1)的结论.从而选择具体使用哪一个解析式.并进行分类讨论. 解:(1)由的定义可知.(对所有实数)等价于(对所有实数)这又等价于.即对所有实数均成立. (*) 由于的最大值为. 故(*)等价于.即.这就是所求的充分必要条件. (2)分两种情形讨论 (i)当时.由(1)知(对所有实数) 则由及易知. 再由的单调性可知. 函数在区间上的单调增区间的长度 为 (ii)时.不妨设.则.于是 当时.有.从而, 当时.有 从而 ,当时..及.由方程 解得图象交点的横坐标为 ⑴ 显然. 这表明在与之间.由⑴易知 综上可知.在区间上. 故由函数及的单调性可知.在区间上的单调增区间的长度之和为.由于.即.得 ⑵ 故由⑴.⑵得 综合可知.在区间上的单调增区间的长度和为. 评注:本题的条件比较复杂.题目中解析式需要自己根据条件确定.进行分类讨论.解决本题的障碍在于有可能读不懂题意.条件比较抽象.从而对问题的转化产生障碍.不能够做到善始善终地解决彻底.

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