摘要：已知函数f(x)＝(x2-3x+3)·ex的定义域为[-2.t](t>-2).设f(-2)＝m.f(t)＝n. (1)试确定t的取值范围.使得函数f(x)在[-2.t]上为单调函数, (2)求证:n>m, (3)[理]若t为自然数.则当t取哪些值时.方程f(x)-m＝0(m∈R)在[-2.t]上有三个不相等的实数根.并求出相应的实数m的取值范围. 解:(1)因为f′(x)＝(x2-3x+3)·ex+(2x-3)·ex＝x(x-1)·ex. 由f′(x)>0⇒x>1或x<0,由f′(x)<0⇒0<x<1. 所以f(x)在上单调递增.在(0,1)上单调递减. 欲使f(x)在[-2.t]上为单调函数.则-2<t≤0. (2)因为f(x)在上单调递增.在(0,1)上单调递减.所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝e. 又f(-2)＝<e.所以f(x)仅在x＝-2处取得[-2.t]上的最小值f(-2). 从而当t>-2时.f(-2)<f(t).即m<n. 知f(x)在上单调递增.在(0,1)上单调递减. 故当t＝0或t＝1时.方程f(x)-m＝0在[-2.t]上不可能有三个不等实根. 所以t≥2.且t∈N. 当t≥2.且t∈N时.方程f(x)-m＝0在[-2.t]上有三个不等实根. 只需满足m∈(max(f(-2).f(1)).min(f(0).f(t)))即可. 因为f(-2)＝.f(0)＝3.f(1)＝e.f(2)＝e2.且f(t)≥f(2)＝e2>3＝f(0). 因而f(-2)<f(1)<f(0)<f(2)≤f(t). 所以f(1)<m<f(0).即e<m<3. 即实数m的取值范围是(e,3).

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