摘要：1证明下列不等式: (1)a,b∈R,求证|a+b|≤|a|+|b|; (2)已知|h|<,|k|<(ε>0),求证:|hk|<ε; (3)已知|h|<cε, c <|x| (c>0,ε>0),求证:||<ε 分析:用绝对值性质及不等式性质作推理运算绝对值性质有: |ab|=|a|·|b|;|an|=|a|n,||=等 证明:(1)证法1:∵-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b| ∴-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| 即|a+b|≤|a|+|b| 证法2:(|a|+|b|)2-|a+b|2=a2+2|a||b|+b2-(a2+2ab+b2) =2［|a|·|b|-ab)=2(|ab|-ab)≥0显然成立故(|a|+|b|)2≥|a+b|2 又∵|a|+|b|≥0,|a+b|≥0.所以|a|+|b|≥|a+b|, 即|a+b|≤|a|+|b| (2)∵0≤|h|<,0≤|k|< (ε>0).∴0≤|hk|＝|h|·|k|<·=ε (3)由0<c<|x|可知: 0<且0≤|h|<cε,∴·cε,即||<ε 2求证:|x+|≥2(x≠0) 分析:x与同号,因此有|x+|=|x|+|| 证法一:∵x与同号,∴|x+|=|x|+ ∴|x+|=|x|+≥2=2,即|x+|≥2 证法二:当x>0时,x+≥2=2 当x<0时,-x>0,有 -x+ ∴x∈R且x≠0时有x+≤-2,或x+≥2 即|x+|≥2 方法点拨:不少同学这样解: 因为|x+|≤|x|+,又|x|+≥2=2,所以|x+|≥2 学生认为这样解答是根据不等式的传递性实际上,上述两个不等式是异向不等式,是不符合传递性的,因而如此作解是错误的 3已知:|A-a|<,|B-b|<,求证: (1)|(A+B)-(a+b)|<ε,(2)|(A-B)-(a-b)|<ε 分析:证明本题的关键是把结论的左边凑出条件的左边,创造利用条件的机会 证明:因为|A-a|<,|B-b|< 所以(1)|(A+B)-(a+b)|=|(A-a)+(B-b)|≤|A-a|+|B-b|<+=ε 即|(A+B)-(a+b)|<ε (2)|(A-B)-(a-b)|=|(A-a)-(B-b)|≤|A-a|+|B-b|<+=ε 即|(A-B)-(a-b)|<ε 方法点拨:本题的证明过程中运用了凑的技巧,望给予足够重视,灵活掌握

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