题目内容
证明下列不等式：（1）a，b都是正数，且a+b=1，求证：(1+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
（2）设实数x，y满足y+x2=0，且0＜a＜1，求证：loga(ax+ay)＜
| 1 |
| 8 |
分析：（1）由题设知左=(1+
)(1+
)=(2+
)(2+
)=5+2(
+
)≥9．
（2）由题设知ax+ay≥2
，由0＜a＜1，知loga(ax+ay)≤loga2
=
logaax+y+loga2=
(x+y)+loga2，由此能够证明loga(ax+ay)＜
+loga2．
| a+b |
| a |
| a+b |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
（2）由题设知ax+ay≥2
| ax+y |
| ax+y |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 8 |
解答：证明（1）左=(1+
)(1+
)=(2+
)(2+
)=5+2(
+
)（3分）
因为a＞0，b＞0，所以
+
≥2（5分）
所以左=(1+
)(1+
)=(2+
)(2+
)=5+2(
+
)≥9（7分）
（2）∵ax＞0，ay＞0，
∴ax+ay≥2
（9分）
又∵0＜a＜1，
∴loga(ax+ay)≤loga2
=
logaax+y+loga2=
(x+y)+loga2（12分）
因为y+x2=0，
∴loga(ax+ay)=
(x-x2)+loga2=-
(x-
)2+
+loga2≤
+loga2
即原不等式得证..（14分）
| a+b |
| a |
| a+b |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
因为a＞0，b＞0，所以
| b |
| a |
| a |
| b |
所以左=(1+
| a+b |
| a |
| a+b |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
（2）∵ax＞0，ay＞0，
∴ax+ay≥2
| ax+y |
又∵0＜a＜1，
∴loga(ax+ay)≤loga2
| ax+y |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
因为y+x2=0，
∴loga(ax+ay)=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 8 |
即原不等式得证..（14分）
点评：本题考查不等式的证明，解题时要注意均值不等式的合理运用．
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