题目内容

证明下列不等式：
（1）对任意的正实数a，b，有
1
1+a
≥
1
1+b
-
a-b
(1+b)2
；
（2）
C
0
n
•
50
50+1
+
C
1
n
•
51
51+1
+
C
2
n
•
52
52+1
+…+
C
n
n
•
5n
5n+1
≥
2n•5n
3n+5n
，n∈N．
分析：（1）利用作差法证明即可；
（2）令a=
1
5k
，可知
1
1+
1
5k
≥
1
1+b
-
1
5k
-b
(1+b)2
（k=0，1，2，…，n）⇒
n
k=0
C
k
n
•
1
1+
1
5k
≥
n
k=0
C
k
n
•
1
1+b
-
n
k=0
1
5k
-b
(1+b)2
，利用组合数的性质可证得右端=
2n
1+b
-
1
(1+b)2
[(1+
1
5
)n-b•2n]，再令b=(
3
5
)n，可证左端
n
k=0
C
k
n
•
1
1+
1
5k
≥
2n
1+
3n
5n
-
1
(1+
3n
5n
)2
[(1+
1
5
)n-(
6
5
)n]=
2n
1+
3n
5n
=
2n•5n
5n+3n
，从而可使结论得证．
解答：证明：（1）∵
1
1+a
-
1
1+b
+
a-b
(1+b)2
=
b-a
(1+a)(1+b)
+
a-b
(1+b)2
=
(b-a)2
(1+a)(1+b)2
，
∵a＞0，b＞0，
∴
(b-a)2
(1+a)(1+b)2
≥0，
故
1
1+a
≥
1
1+b
-
a-b
(1+b)2
；
（2）令a=
1
5k
，k=0，1，2，…，n．由（1）得：
1
1+
1
5k
≥
1
1+b
-
1
5k
-b
(1+b)2
，k=0，1，2，…，n
∴
C
k
n
•
1
1+
1
5k
≥
C
k
n
•
1
1+b
-
C
k
n
•
1
5k
-b
(1+b)2
，k=0，1，2，…，n
∴
n
k=0
C
k
n
•
1
1+
1
5k
≥
n
k=0
C
k
n
•
1
1+b
-
n
k=0
1
5k
-b
(1+b)2

=
1
1+b
n
k=0
C
k
n
-
1
(1+b)2
n
k=0
C
k
n
（
1
5k
-b）
=
2n
1+b
-
1
(1+b)2
（
n
k=0
C
k
n
•
1
5k
-b
n
k=0
C
k
n
）
=
2n
1+b
-
1
(1+b)2
[(1+
1
5
)n-b•2n]，
令b=(
3
5
)n，
则
n
k=0
C
k
n
•
1
1+
1
5k
≥
2n
1+
3n
5n
-
1
(1+
3n
5n
)2
[(1+
1
5
)n-(
6
5
)n]=
2n
1+
3n
5n
=
2n•5n
5n+3n
，
即
C
0
n
•
50
50+1
+
C
1
n
•
51
51+1
+
C
2
n
•
52
52+1
+…+
C
n
n
•
5n
5n+1
≥
2n•5n
3n+5n
，n∈N．
点评：本题考查不等式的证明，着重考查等价转化思想与抽象思维、逻辑推理能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
证明下列不等式：
（1）a，b都是正数，且a+b=1，求证：(1+
1
a
)(1+
1
b
)≥9；
（2）设实数x，y满足y+x2=0，且0＜a＜1，求证：loga(ax+ay)＜
1
8
+loga2．
证明下列不等式．
（1）求证：当a、b、c为正数时，（a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）≥9．
（2）已知n≥0，试用分析法证明：
n+2
-
n+1
＜
n+1
-
n
．
（2011•太原模拟）证明下列不等式：
（1）用分析法证明：
3
+
8
＞1+
10
；
（2）已知a，b，c是不全相等的正数，证明a2+b2+c2＞ab+bc+ca．
证明下列不等式：
（1）若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，则
b+c
a
x2+
c+a
b
y2+
a+b
c
z2≥2（xy+yz+zx）
（2）若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，则
y+z
x
+
z+x
y
+
x+y
z
≥2（
1
x
+
1
y
+
1
z
）

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