Question

已知函数f(x)=

x

x2+1

．
（1）求出函数y=f（x）的单调区间；
（2）当x∈(-

3

4

，+∞)时，证明函数y=f（x）图象在点(

1

3

，

3

10

)处切线的下方；
（3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知a，b，c∈(-

3

4

，+∞)，且a+b+c=1，证明：

a

a2+1

+

b

b2+1

+

c

c2+1

≤

9

10

”；
（4）已知a₁，a₂，…，a_n是正数，且a₁+a₂+…+a_n=1，借助（3）的证明猜想

n

k=1

ak

a 2 k +1

的最大值．（只指出正确结论，不要求证明）

Answer 1

分析：（1）求函数的单调区间，常用导数法，可以先对函数求导，利用导数大于0解出函数增区间，用导数小于0解出函数的减区间；
（2）先求出点(

1

3

，

3

10

)处切线的方程，再通过比较-

3

4

＜x＜+∞时两函数函数值的大小证明；
（3）由（2）

x

x2+1

≤

36x+3

50

，得

a

a2+1

≤

36a+3

50

，

b

b2+1

≤

36b+3

50

，

c

c2+1

≤

36c+3

50

，将三式相加即可证得不等式．
（4）由（3）的证明结论总结规律，写出符合规律的猜想：

n

k=1

ak

a 2 k +1

的最大值是

n2

n2+1

．

解答：解：（1）f（x）=

x

x2+1

的定义域是（-∞，+∞），因为f'（x）=

1-x2

(x2+1)2

，所以f（x）在（-∞，-1]上单调递减，在[-1，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减．…（4分）
（2）y=f（x）的图象在点（x₀，f（x₀））处的切线方程为y-

x0

1+ x 0 2

=

1- x 2 0

(1+ x 2 0 )2

(x-x0)
当x₀=

1

3

时，函数在点（

1

3

，

3

10

）处的切线方程是y-

3

10

=

18

25

（x-

1

3

），即y=

36x+3

50

 …（7分）
要证当-

3

4

＜x＜+∞时，证明函数图象在点（

1

3

，

3

10

）处切线的下方，只需证明

x

x2+1

≤

36x+3

50

，成立． 这等价于证明（3x-1）²（4 x+3）≥0，这是显然的．…（10分）
（3）由（2）

x

x2+1

≤

36x+3

50

，知

a

a2+1

≤

36a+3

50

，

b

b2+1

≤

36b+3

50

，

c

c2+1

≤

36c+3

50

．
将三个不等式相加得

a

a2+1

+

b

b2+1

+

c

c2+1

≤

9

10

．…（13分）
（4）由（3）：“已知a，b，c∈(-

3

4

，+∞)，且a+b+c=1，必有

a

a2+1

+

b

b2+1

+

c

c2+1

≤

9

10

”；不等式左边是三个式子的和，分母都是分子的平方加1，不等式右边是个分数，分子是3的平方，而分母是3的平方加1，3正好对应a，b，c数个个数3，
又a₁，a₂，…，a_n是正数，且a₁+a₂+…+a_n=1，故可猜想

n

k=1

ak

a 2 k +1

的最大值是

n2

n2+1

．…（16分）

点评：本题考查不等式的证明，恒等式的证明，函数的单调区间的求法，本题综合性强运算量大，且证明方法新颖，考查判断推理的能力，解题的关键是能根据题设中的条件与要证的结论分析出恰当的证明方法．