摘要：设f(x)＝ax2+bx+c.若6a+2b+c＝0.f(1)·f(3)＞0. (1)若a＝1.求f(2)的值, (2)求证:方程f(x)＝0必有两个不等实根x1.x2.且3＜x1+x2＜5. 解:(1)∵6a+2b+c＝0.a＝1. ∴f(2)＝4a+2b+c＝-2a＝-2. (2)证明:首先说明a≠0. ∵f(1)·f(3)＝(a+b+c)(9a+3b+c)＝-(5a+b)(3a+b)＞0. 若a＝0.则f(1)·f(3)＝-b2＜0与已知矛盾. ∴a≠0. 其次说明二次方程f(x)＝0必有两个不等实根x1.x2. ∵f(2)＝4a+2b+c＝-2a. ∴若a＞0.二次函数f(x)＝ax2+bx+c开口向上.而此时f(2)＜0. ∴若a＜0.二次函数f(x)＝ax2+bx+c开口向下.而此时f(2)＞0. 故二次函数图象必与x轴有两个不同交点. ∴ 二次方程f(x)＝0必有两个不等实根x1.x2. (或利用Δ＝b2-4ac＝b2+4a(6a+2b)＝b2+8ab+24a2＝(b+4a)2+8a2＞0来说明) ∵a≠0. ∴将不等式-(5a+b)(3a+b)＞0两边同除以-a2得 ＜0. ∴-5＜＜-3. ∴3＜x1+x2＝-＜5.

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