摘要：17．已知定点及椭圆.过点的动直线与椭圆相交于两点. (Ⅰ)若线段中点的横坐标是.求直线的方程, (Ⅱ)在轴上是否存在点.使为常数?若存在.求出点的坐标,若不存在.请说明理由. 解:(Ⅰ)依题意.直线的斜率存在.设直线的方程为. 将代入. 消去整理得 设 则 由线段中点的横坐标是. 得. 解得.适合. 所以直线的方程为 .或 . (Ⅱ)假设在轴上存在点.使为常数. ① 当直线与轴不垂直时.由(Ⅰ)知 所以 将代入.整理得 注意到是与无关的常数. 从而有. 此时 ② 当直线与轴垂直时.此时点的坐标分别为. 当时. 亦有 综上.在轴上存在定点.使为常数.

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