Question

已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.

（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；

（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(Ⅰ) ，或    (Ⅱ)

解析:

（Ⅰ）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，

将代入， 消去整理得    ………….. 2分

设  则    ………….. 4分

由线段中点的横坐标是，   得，解得，适合.  ….. 5分

所以直线的方程为 ，或 .  ….. 6分

（Ⅱ）解：假设在轴上存在点，使为常数.

① 当直线与轴不垂直时，由（Ⅰ）知    

所以

                                    ………….. 8分

将代入，整理得

                           

注意到是与无关的常数， 从而有， 此时  .. 10分

② 当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，

当时， 亦有                                         

综上，在轴上存在定点，使为常数. ……………….. 12分