摘要：2．已知O为坐标原点.=(2.1).=(1.7).=(5.1).=x,y=· 的轨迹方程, 的轨迹按向量=平移到曲线C.M.N是曲线C上的两不同的点.如果⊥.求证直线MN恒过一定点.并求出定点坐标. 解:(Ⅰ)∵=x=x ∴D ∵=(1.7).= ∴=.= ∴y=·=(1-x)=5x2-20x+12 ∴y=5(x-2)2-8这就是所求的点P(x.y)的轨迹方程 的图象按向量平移到曲线C.所得的曲线C的方程为:y=5x2 设M(x1.y1).N(x2.y2)则OM⊥ON·=x1x2+y1y2=0 设直线MN的方程为:y=kx+y0代入y2=5x得 k2x2+(2ky0-5)x+y02=0 Δ=(2ky0-5)-4k2y02=25-20ky0＞0即ky0＜且x1+x2=.x1x2= ∴y1y2=(kx1+y0)(kx2+y0)=k2x1x2+ky0(x1+x2)+y02=于是 y02=-5(ky0)∴k=-y0(显然y0≠0且满足ky0＜) 故直线MN的方程为: ∴y=-(x-5) 所以直线MN恒过定点(5.0)

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