Question

已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A、M、N满足|

AE

|=m|

EF

|（m＞1），

MN

•

AF

=0，

ON

=

1

2

(

OA

+

OF

)，

AM

∥

ME

．
（Ⅰ）求点M的轨迹W的方程；
（Ⅱ）点P(

m

2

，  y0)在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且

PF

=λ

FQ

，若1≤λ≤2，求实数m的范围．

Answer 1

分析：（1）由向量的条件可得MN垂直平分AF，从而得线段ME，MF的关系，结合椭圆的定义可求得M的轨迹W的方程；
（2）依据向量关系式求得点Q的坐标，再将P、Q的坐标代椭圆W的方程中，得到m的表达式，最后根据条件转化为不等关系求范围即可．

解答：解：（Ⅰ）∵

MN

•

AF

=0，

ON

=

1

2

(

OA

+

OF

)，
∴MN垂直平分AF．
又

AM

∥

ME

，∴点M在AE上，
∴|

AM

|+|

ME

|=|

AE

|=m|

EF

|=2m，|

MA

|=|

MF

|，
∴|

ME

|+|

MF

|=2m＞|

EF

|，（4分）
∴点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴a=m，半焦距c=1，
∴b²=a²-c²=m²-1．
∴点M的轨迹W的方程为

x2

m2

+

y2

m2-1

=1（m＞1）．（6分）
（Ⅱ）设Q（x₁，y₁）
∵P(

m

2

，y0)，

PF

=λ

FQ

，
∴

1- m 2 =λ(x1-1) -y0=λy1.

∴

x1= 1 λ (λ+1- m 2 ) y1=- 1 λ y0.

（8分）
由点P、Q均在椭圆W上，
∴

1 4 + y 2 0 m2-1 =1 1 λ2m2 (λ+1- m 2 )2+ y 2 0 λ2(m2-1) =1.

（10分）
消去y₀并整理，得λ=

m2-m+1

m2-1

，
由1≤

m2-m+1

m2-1

≤2及m＞1，解得1＜m≤2（14分）

点评：本题在向量与圆锥曲线交汇处命题，考查了向量的几何意义、曲线方程的求法、椭圆的定义以及等价转化能力．