摘要：22．证法一:分别连接OA.OB. ∵OB=OA.∴∠A=∠B.又∵AC=BD.∴△AOC≌△BOD.∴OC=OD. 证法二:过点O作OE⊥AB于E.∴AE=BE.∵AC=BD.∴CE=ED.∴△OCE≌△ODE.∴OC=OD.
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王老师布置学生用刻度尺画已知∠MON的平分线。
小勇的画法是：1、在射线OM和ON上分别任取OA=OB，
2、连接AB，取AB的中点C，
3、作射线OC，
则射线OC就是∠MON的平分线。
小聪的画法是：1、在射线OM上任取A、C两点，
2、在射线ON上截取OB=OA，OD=OC
3、连接AD和BC ，AD和BC交于点P
4、作射线OP
则射线OP就是∠MON的平分线。
请你选择一种画法在右图中画出相应的图形，然后给予证明
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如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一
个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做
位似中心。利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大。
（1）选择：如图（1），点O是等边△PQR的中心，P’Q’R’分别是OP、OQ、OR的
中点，则△P’Q’R’与是△PQR是位似三角形，此时，△P’Q’R’与△PQR的位似比，位
似中心分别为 （ ）
A. 2，点P B. 
，点P C. 2，点O D. 
，点O
（2）如图（2），用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应的
问题。画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②
连结OE并延长，交AB于点E’，过点E’作E’C’//EC，交OA于点C’，作E’D’//ED，
交OB于点D’；③连结C’D’，则△C’D’E’ 是△AOB的内接三角形。
求证：△C’D’E’是等边三角形。
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如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边平行，那么这两个三角形也是位似三角形，它们的相似比是位似比，这个点是位似中心，利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大。
（1）如图（1）所示，点O是等边三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，此时△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为（ ）
A.2、点P
B.
、点P
C.2、点O
D.
、点O
（2）如图（2）所示，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题。
画法：
①在△ABO内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上；
②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E'D′∥ED，交OB于点D′；
③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形，试说明△C′D′E′是等边三角形。
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A.2、点P
B.
、点PC.2、点O
D.
、点O（2）如图（2）所示，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题。
画法：
①在△ABO内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上；
②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E'D′∥ED，交OB于点D′；
③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形，试说明△C′D′E′是等边三角形。
（1）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规不可能“三等分任意角”，但对于特定度数的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺规进行三等分的，如图a，∠AOB=90°，我们在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出∠DOB的角平分线OE，则射线OD、OE将∠AOB三等分，仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b中的∠MON三等分（已知∠MON=45°）；（不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）
（2）数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图c）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数
的图象交于点P，以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R， 分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=
∠AOB，要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
①设
、
，求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）；
②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q，请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=
∠AOB。
的图象交于点P，以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R， 分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=
∠AOB，要明白帕普斯的方法，请研究以下问题： ①设
、
，求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）；②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q，请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=
∠AOB。