已知直线与圆交于两点.则弦MN的垂直平分线方程为——青夏教育精英家教网——

摘要：已知直线与圆交于两点.则弦MN的垂直平分线方程为

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（1）我们知道圆具有性质：若

的弦AB的中点，则直线AB的斜率

与直线OE的斜率

为定值。类比圆的这个性质，写出椭圆

的类似性质，并加以证明；
（2）如图（1），点B为

在第一象限中的任意一点，过B作

分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值；
（3）如图（2），过椭圆

上任意一点

的两条切线PM和PN，切点分别为M，N.当点P在椭圆

上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

图（1）图（2）

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圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（x₀，y₀）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0）．
（1）试用x₀，y₀，m，n的代数式分别表示x_E和x_F；
（2）若C的方程为

=1(a＞b＞0)（如图），求证：x_E•x_F是与MN和点P位置无关的定值；
（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究x_E和x_F经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与MN和点P位置无关的定值，写出你的研究结论并证明．查看习题详情和答案>>

圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（
x₀，y₀）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0）．
（Ⅰ）试用x₀，y₀，m，n的代数式分别表示x_E和x_F；
（Ⅱ）已知“若点P（x₀，y₀）是圆C：x²+y²=R²上的任意一点（
x₀•y₀≠0），MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0），则xE•xF=R2”．类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为

=1(a＞b＞0)（如图），则x_E•x_F也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明．

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圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（
x，y）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0）．
（Ⅰ）试用x，y，m，n的代数式分别表示x_E和x_F；
（Ⅱ）已知“若点P（x，y）是圆C：x²+y²=R²上的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0），则

”．类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为

（如图），则x_E•x_F也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明．

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圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（x，y）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0）．
（1）试用x，y，m，n的代数式分别表示x_E和x_F；
（2）若C的方程为

（如图），求证：x_E•x_F是与MN和点P位置无关的定值；
（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究x_E和x_F经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与MN和点P位置无关的定值，写出你的研究结论并证明．

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