摘要：2．已知数列{an}的各项都是正数.且满足:a0＝1.an+1＝an·(4-an)(n∈N)． 证明:an<an+1<2(n∈N)． 证明:证法一:用数学归纳法证明: (1)当n＝0时.a0＝1.a1＝a0(4-a0)＝.所以a0<a1<2.命题正确． (2)假设n＝k-1(k∈N*)时命题成立.即ak-1<ak<2. 则当n＝k时.ak-ak+1 ＝ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)＝2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak) ＝(ak-1-ak)(4-ak-1-ak)． 而ak-1-ak<0,4-ak-1-ak>0.所以ak-ak+1<0. 又ak+1＝ak(4-ak)＝ [4-(ak-2)2]<2.所以n＝k时命题成立． 由可知.对一切n∈N时有an<an+1<2. 证法二:用数学归纳法证明: (1)当n＝0时.a0＝1.a1＝a0(4-a0)＝.所以0<a0<a1<2, (2)假设n＝k-1(k∈N*)时有ak-1<ak<2成立.令f(x)＝x(4-x).f(x)在[0,2]上单调递增.所以由假设有:f(ak-1)<f(ak)<f(2). 即ak-1(4-ak-1)<ak(4-ak)<×2×(4-2). 也即当n＝k时.ak<ak+1<2成立．所以对一切n∈N.有ak<ak+1<2.

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