Question

已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：a₀=1，a_n+1=

1

2

an（4-a_n），n∈N．
（1）证明a_n＜a_n+1＜2，n∈N；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析：（1）先看当n=1时，根据题设求得a₁，进而可知a₀＜a₁＜2；再假设n=k时有a_k-1＜a_k＜2．通过a_k-a_k+1=

1

2

（a_k-1-a_k）（4-a_k-1-a_k）．根据a_k-1＜a_k＜2．进而证明原式，综合这两个方面，证明命题正确．
（2）整理a_n+1=

1

2

an4-a_n得，2（a_n+1-2）=-（a_n-2）²，令b_n=a_n-2，代入2（a_n+1-2）=-（a_n-2）²整理求得b_n，进而求得
a_n．

解答：解：（1）1°当n=1时，a₀=1，a₁=

1

2

a0（4-a₀）=

3

2

，
∴a₀＜a₁＜2，命题正确．
2°假设n=k时有a_k-1＜a_k＜2．
则n=k+1时，a_k-a_k+1=

1

2

ak-1（4-a_k-1）-

1

2

ak（4-a_k）
=2（a_k-1-a_k）-

1

2

（a_k-1²-a_k²）
=

1

2

（a_k-1-a_k）（4-a_k-1-a_k）．
而a_k-1-a_k＜0.4-a_k-1-a_k＞0，∴a_k-a_k+1＜0．
又a_k+1=

1

2

ak（4-a_k）=

1

2

[4-（a_k-2）²]＜2
∴n=k+1时命题正确．
由1°、2°知，对一切n∈N时有a_n＜a_n+1＜2．
（2）a_n+1=

1

2

an（4-a_n）=

1

2

[-（a_n-2）²+4]，
所以2（a_n+1-2）=-（a_n-2）²
令b_n=a_n-2，则b_n=-

1

2

b

2 n-1

=-

1

2

(-

1

2

b

2 n-2

)2=-

1

2

(

1

2

)2bn-322=…=-(

1

2

)1+2++2n-1

b

2n 1

，
又b₀=-1，所以b_n=-(

1

2

)2n-1，即a_n=2+b_n=2-(

1

2

)2n-1．

点评：本题主要考查了数列的递推式以及用数学归纳法解决问题的能力．