Question

已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=

1

2

an•(4-an)，n∈N．
（1）求a₁，a₂；
（2）证明a_n＜a_n+1＜2，n∈N．

Answer 1

（1）a0=1，a1=

1

2

a0(4-a0)=

3

2

，a2=

1

2

a1(4-a1)=

15

8

．
（2）用数学归纳法证明：
1°当n=0时，a0=1，a1=

3

2

，∴a₀＜a₁＜2，命题正确．
2°假设n=k时，有a_k-1＜a_k＜2．
则n=k+1时，ak-ak+1=

1

2

ak-1(4-ak-1)-

1

2

ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-

1

2

(ak-1-ak)(ak-1+ak)=

1

2

(ak-1-ak)(4-ak-1-ak)．
而a_k-1-a_k＜0，4-a_k-1-a_k＞0，∴a_k-a_k-1＜0．
又ak+1=

1

2

ak(4-ak)=

1

2

[4-(ak-2)2]＜2，∴n=k+1时命题正确．
由1°、2°知，对一切n∈N，有a_n＜a_n+1＜2．