Question

. (本小题满分14分)

第21题

设双曲线=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.

(1) 证明：无论P点在什么位置，总有||² = |·| ( O为坐标原点)；

(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；

Answer 1

(Ⅰ) 略   (Ⅱ)  e >    

解析:

：(1) 设OP：y = k x,    又条件可设AR: y = (x – a ),

   解得：= (,),    同理可得= (,),     

∴|·| =|+| =.           4分

   设 = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:

m² =, n² = ,    

∴ ||² = :m² + n² = + = ,

∵点P在双曲线上，∴b² – a²k² > 0 .

  ∴无论P点在什么位置，总有||² = |·| .                    4分

（2）由条件得：= 4ab,      2分

即k² = > 0 , ∴ 4b > a, 得e >    2分