摘要： P是△ABC所在平面外一点.O是点P在平面α上的射影． (1)若PA = PB = PC.则O是△ABC的 心． (2)若点P到△ABC的三边的距离相等.则O是△ABC 心． (3)若PA .PB.PC两两垂直.则O是△ABC 心． (4)若△ABC是直角三角形.且PA = PB = PC则O是△ABC的 心． (5)若△ABC是等腰三角形.且PA = PB = PC.则O是△ABC的 心． (6)若PA.PB.PC与平面ABC所成的角相等.则O是△ABC的 心, 解析:(1)外心．∵ PA=PB=PC.∴ OA=OB=OC.∴ O是△ABC的外心． ．作OD⊥AB于D.OE⊥BC于E.OF⊥AC于F.连结PD.PE.PF．∵ PO⊥平面ABC.∴ OD.OE.OF分别为PD.PE.PF在平面ABC内的射影.由三垂线定理可知.PD⊥AB.PE⊥BC.PF⊥AC．由已知PD=PE=PF.得OD=OE=OF.∴ O是△ABC的内心． (3)垂心． 外心 (6)外心．PA与平面ABC所成的角为∠PAO.在△PAO.△PBO.△PCO中.PO是公共边.∠POA=∠POB=∠POC=90°.∠PAO=∠PBO=∠PCO.∴ △PAO≌△PBO≌△PCO.∴ OA=OB=OC.∴ O为△ABC的外心． (此外心又在等腰三角形的底边高线上)．

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