Question

P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面α上的射影．

(1)若PA＝PB＝PC，则O是△ABC的________心．

(2)若点P到△ABC的三边的距离相等，则O是△ABC________心．

(3)若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC________心．

(4)若△ABC是直角三角形，且PA＝PB＝PC则O是△ABC的________心．

(5)若△ABC是等腰三角形，且PA＝PB＝PC，则O是△ABC的________心．

(6)若PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等，则O是△ABC的________心；

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)外心．∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心． 　　(2)内心(或旁心)．作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连结PD、PE、PF．∵PO⊥平面ABC，∴OD、OE、OF分别为PD、PE、PF在平面ABC内的射影，由三垂线定理可知，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC．由已知PD＝PE＝PF，得OD＝OE＝OF，∴O是△ABC的内心．(如下图) 　　(3)垂心． 　　(4)外心． 　　(5)外心 　　(6)外心．PA与平面ABC所成的角为∠PAO，在△PAO、△PBO、△PCO中，PO是公共边，∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，∠PAO＝∠PBO＝∠PCO，∴△PAO≌△PBO≌△PCO，∴OA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心． 　　(此外心又在等腰三角形的底边高线上)．