对于正整数，用表示的最大奇因数，如：，……. 记，其中是正整数.

（I）写出，，，并归纳猜想与N）的关系式；

（II）证明（I）的结论；

（Ⅲ）求的表达式.

已知函数，数列的项满足： ，（1）试求

（2） 猜想数列的通项，并利用数学归纳法证明.

【解析】第一问中，利用递推关系,

,   

第二问中，由（1）猜想得：然后再用数学归纳法分为两步骤证明即可。

解: (1) ,

,    …………….7分

（2）由（1）猜想得：

（数学归纳法证明）i) ,  ,命题成立

ii) 假设时，成立

则时，

综合i),ii) : 成立

 [2012·浙江卷] 如图1－5，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝，AD＝2，BC＝4，AA₁＝2，E是DD₁的中点，F是平面B₁C₁E与直线AA₁的交点．

(1)证明：(i)EF∥A₁D₁；

(ii)BA₁⊥平面B₁C₁EF；

(2)求BC₁与平面B₁C₁EF所成的角的正弦值．

图1－5

2012·浙江卷] 如图1－5，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝，AD＝2，BC＝4，AA₁＝2，E是DD₁的中点，F是平面B₁C₁E与直线AA₁的交点．

(1)证明：(i)EF∥A₁D₁；

(ii)BA₁⊥平面B₁C₁EF；

(2)求BC₁与平面B₁C₁EF所成的角的正弦值．

图1－5