Question

2012·浙江卷] 如图1－5，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝，AD＝2，BC＝4，AA₁＝2，E是DD₁的中点，F是平面B₁C₁E与直线AA₁的交点．

(1)证明：(i)EF∥A₁D₁；

(ii)BA₁⊥平面B₁C₁EF；

(2)求BC₁与平面B₁C₁EF所成的角的正弦值．

图1－5

Answer 1

解：(1)证明：(ⅰ)因为C₁B₁∥A₁D₁，C₁B₁⊄平面A₁D₁DA，所以C₁B₁∥平面A₁D₁DA，

又因为平面B₁C₁EF∩平面A₁D₁DA＝EF，

所以C₁B₁∥EF，

所以A₁D₁∥EF.

(ⅱ)因为BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，

所以BB₁⊥B₁C₁.

又因为B₁C₁⊥B₁A₁，

所以B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，

所以B₁C₁⊥BA₁.

在矩形ABB₁A₁中，F是AA₁的中点，tan∠A₁B₁F＝tan∠AA₁B＝，

即∠A₁B₁F＝∠AA₁B，

故BA₁⊥B₁F，

所以BA₁⊥平面B₁C₁EF.

(2)设BA₁与B₁F交点为H，连结C₁H.

由(1)知BA₁⊥平面B₁C₁EF，所以∠BC₁H是BC₁与面B₁C₁EF所成的角．

在矩形AA₁B₁B中，AB＝，AA₁＝2，得BH＝.

在直角△BHC₁中，BC₁＝2，BH＝，得

sin∠BC₁H＝＝，

所以BC₁与平面B₁C₁EF所成角的正弦值是.