Question

对于正整数k，用g（k）表示k的最大奇因数，如：g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，…．记a_n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ），其中n是正整数．
（I）写出a₁，a₂，a₃，并归纳猜想a_n与a_n-1（n≥2，n∈N）的关系式；
（II）证明（I）的结论；
（Ⅲ）求a_n的表达式．

Answer 1

分析：（I）a₁=g（1）+g（2）=2，a₂=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=2+3+1=6，a₃=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+
g（7）+g（8）=a²+g（5）+g（3）+g（7）+g（4）=6+5+3+7+1=6+4²=22．猜想n≥2时，a_n=a_n-1+4^n-1．
（II）若k为奇数，则g（k）=k；若k为偶数，则g（k）=g(k)=g(2-

k

2

)=g(

k

2

)．若

k

2

为奇数，则g(k)=

k

2

；若

k

2

为偶数，则可重复上述步骤得到g（k）．由此可知：a_n=4^n-1+a_n-1．当n≥2时，a_n=a_n-1+4^n-1成立．
（Ⅲ）当n≥2时，a_n-a_n-1=4^n-1，故有a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1+a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=4^n-1+4^n-2+…+4+2=

4(1-4n-1)

1-4

+2=

4n+2

3

，由此能求出{a_n}的表达式．

解答：解：（I）a₁=g（1）+g（2）=2，
a₂=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=2+3+1=6．
a₃=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8）
=a²+g（5）+g（3）+g（7）+g（4）=6+5+3+7+1=6+4²=22
猜想n≥2时，a_n=a_n-1+4^n-1．

（II）证明：若k为奇数，则g（k）=k；
若k为偶数，则g（k）=g(k)=g(2-

k

2

)=g(

k

2

)．若

k

2

为奇数，则g(k)=

k

2

；
反之，若

k

2

为偶数，则可重复上述步骤得到g（k）
由此可知：n≥2时，
a_n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）
=1+3+5+…（2ⁿ-1）+g（2）+g（4）+g（6）+…g（2ⁿ）
=1+3+5+…+（2ⁿ-1）+g（2）+g（4）+g（6）+…g（2ⁿ）
=

2n-1[1+(2n-1)]

2

+g（1）+g（2）+…g（2^n-1）
=4^n-1+a_n-1．
即当n≥2时，a_n=a_n-1+4^n-1成立
（Ⅲ）由（I）知，当n≥2时，a_n-a_n-1=4^n-1，故有a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1+a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=4^n-1+4^n-2+…+4+2=

4(1-4n-1)

1-4

+2=

4n+2

3

，
a₁也满足此式．
故an =

4n+2

3

（n∈N，且n≥1）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，合理地进行等价转化．