(本小题满分12分)

已知点是椭圆E：（a > b > 0）上一点，F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．

求椭圆E的方程；

设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足（0<λ<4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距离为？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．

已知方程(a²+1)x²－2ax－3=0的两根x₁和x₂满足：|x₂|<x₁(1－x₂)且0<x₁<1，求实数a的取值范围。

设M是由满足下列两个条件的函数构成的集合：

       ①议程有实根；②函数的导数满足0<<1.

   （I）若，判断方程的根的个数；

   （II）判断（I）中的函数是否为集合M的元素；

   （III）对于M中的任意函数，设x₁是方程的实根，求证：对于定义域中任意的x₂，x₃，当| x₂－x₁|<1，且| x₃－x₁|<1时，有

. 已知函数f(x)=ax²+ax和g(x)=x-a,其中a??R且a??0．

（1）若函数f(x)与g(x)的图像的一个公共点恰好在x轴上,求的值；

（2）若函数f(x)与g(x)图像相交于不同的两点A、B,O为坐标原点,试问：△OAB的面积S有没有最值?如果有,求出最值及所对应的的值；如果没有,请说明理由．

（3）若p和q是方程f(x)=g(x)的两根,且满足0<p<q<,证明：当x??(0,p)时,g(x)<f(x)<p-a.．