(本小题满分13分)

已知椭圆：的右焦点为F，离心率，椭圆C上的点到F的距离的最大值为，动点,以OM为直径的圆的圆心是.

（I）求椭圆的方程C的方程.

（II）若点N在圆上，且,过N作直径OM的垂线NP,垂足为P,求证：直线NP恒过右焦点F.

(本小题满分13分)

已知椭圆的离心率为，椭圆短轴长为. 

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点. ①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值。

(本小题满分13分)
已知椭圆的离心率为，椭圆短轴长为. 
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点. ①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值。

（本小题满分13分）已知椭圆：，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为，内心，且有（其中为实数）

（1）求椭圆的离心率；

（2）过焦点的直线与椭圆相交于点、，若面积的最大值为3，求椭圆的方程．