（1）一个动点P在圆x²+y²=4上移动时，求点P与定点A（4，3）连线的中点M的轨迹方程．
（2）自定点A（4，3）引圆x²+y²=4的割线ABC，求弦BC中点N的轨迹方程．
（3）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
①求圆C的方程；
②若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，准线方程为x=±

1

2

，渐近线为y=±

3

x．
（1）求双曲线的方程；
（2）若A、B分别为双曲线的左、右顶点，双曲线的弦PQ垂直于x轴，求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程．

设直线l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，其中实数k₁，k₂满足k₁k₂+2=0．证明l₁与l₂的交点在椭圆2x²+y²=1上．

（2013•黄冈模拟）在矩形ABCD中，|AB|=2

3

，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系（如图所示）．若R、R′分别在线段0F、CF上，且

|OR|

|OF|

=

|CR′|

|OF|

=

1

n

．
（Ⅰ）求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆Ω：

x2

3

+y²=1上；
（Ⅱ）若M、N为椭圆Ω上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为

2

3

，求证：直线MN过定点．