题目内容
(2013•黄冈模拟)在矩形ABCD中,|AB|=2
,|AD|=2,E、F、G、H分别为矩形四条边的中点,以HF、GE所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系(如图所示).若R、R′分别在线段0F、CF上,且
=
=
.
(Ⅰ)求证:直线ER与GR′的交点P在椭圆Ω:
+y
2=1上;
(Ⅱ)若M、N为椭圆Ω上的两点,且直线GM与直线GN的斜率之积为
,求证:直线MN过定点.
分析:(Ⅰ)由且
=
=
求出R和R′的坐标,求出直线GR′和直线ER的方程,联立求出交点,把交点坐标代入椭圆方程进行验证;
(Ⅱ)设出M,N的坐标,当直线斜率存在时,设出直线方程,和椭圆方程联立,利用根与系数关系求出M,N两点坐标的和与积,代入斜率公式,求得MN的斜率和截距的关系,由纤细方程证明结论,当斜率不存在时,直接求出M,N的坐标验证.
解答:证明:(Ⅰ)如图,
∵
==,∴
R(,0),R′(,),
又G(0,1),则直线GR′的方程为
y=-x+1 ①
又E(0,-1),则直线ER的方程为
y=x-1 ②
由①②得
P(,),代入椭圆方程得:
+()2==1.
∴直线ER与GR′的交点P在椭圆Ω:
+y
2=1上;
(Ⅱ)①当直线MN的斜率不存在时,设MN:x=t(
-<t<),
则
M(t,),N(t,-),∴
kGM•kGN=,不合题意.
②当直线MN的斜率存在时,设MN:y=kx+b,
M(x
1,y
1),N(x
2,y
2),
联立方程
,
得(1+3k
2)x
2+6kbx+3b
2-3=0.
则△=12(3k
2-b
2+1)>0,
x1+x2=,x1x2=,
又
kGM•kGN=•=k2x1x2+k(b-1)(x1+x2)+(b-1)2 |
x1x2 |
=
,
即
(3k2-2)x1x2+3k(b-1)(x1+x2)+3(b-1)2=0,
将
x1+x2=,x1x2=代入上式得b=-3,
∴直线过定点T(0,-3).
点评:本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线和圆锥曲线的关系,训练了两直线交点坐标的求法,考查了由两点求直线的斜率公式,考查了学生的计算能力,是有一定难度题目.
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