题目内容

(2013•黄冈模拟)在矩形ABCD中,|AB|=2
3
,|AD|=2,E、F、G、H分别为矩形四条边的中点,以HF、GE所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系(如图所示).若R、R′分别在线段0F、CF上,且
|OR|
|OF|
=
|CR′|
|OF|
=
1
n

(Ⅰ)求证:直线ER与GR′的交点P在椭圆Ω:
x2
3
+y2=1上;
(Ⅱ)若M、N为椭圆Ω上的两点,且直线GM与直线GN的斜率之积为
2
3
,求证:直线MN过定点.
分析:(Ⅰ)由且
|OR|
|OF|
=
|CR′|
|OF|
=
1
n
求出R和R′的坐标,求出直线GR′和直线ER的方程,联立求出交点,把交点坐标代入椭圆方程进行验证;
(Ⅱ)设出M,N的坐标,当直线斜率存在时,设出直线方程,和椭圆方程联立,利用根与系数关系求出M,N两点坐标的和与积,代入斜率公式,求得MN的斜率和截距的关系,由纤细方程证明结论,当斜率不存在时,直接求出M,N的坐标验证.
解答:证明:(Ⅰ)如图,
        
|OR|
|OF|
=
|CR|
|CF|
=
1
n
,∴R(
3
n
,0),R(
3
n-1
n
)

又G(0,1),则直线GR′的方程为y=-
1
3
n
x+1
       ①
又E(0,-1),则直线ER的方程为y=
n
3
x-1
          ②
由①②得P(
2
3
n
n2+1
n2-1
n2+1
)
,代入椭圆方程得:
(
2
3
n
n2+1
)2
3
+(
n2-1
n2+1
)2=
4n2+(n2-1)2
(n2+1)2
=1

∴直线ER与GR′的交点P在椭圆Ω:
x2
3
+y2=1上;
(Ⅱ)①当直线MN的斜率不存在时,设MN:x=t(-
3
<t<
3
),
M(t,
1-
t2
3
),N(t,-
1-
t2
3
)
,∴kGMkGN=
1
3
,不合题意.
②当直线MN的斜率存在时,设MN:y=kx+b,
 M(x1,y1),N(x2,y2),
  
联立方程
y=kx+b
x2
3
+y2=1

得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0.
则△=12(3k2-b2+1)>0,
x1+x2=
-6kb
1+3k2
x1x2=
3b2-3
1+3k2

kGMkGN=
y1-1
x1
y2-1
x2
=
k2x1x2+k(b-1)(x1+x2)+(b-1)2
x1x2
=
2
3

(3k2-2)x1x2+3k(b-1)(x1+x2)+3(b-1)2=0,
x1+x2=
-6kb
1+3k2
x1x2=
3b2-3
1+3k2
代入上式得b=-3,
∴直线过定点T(0,-3).
点评:本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线和圆锥曲线的关系,训练了两直线交点坐标的求法,考查了由两点求直线的斜率公式,考查了学生的计算能力,是有一定难度题目.
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