摘要：19． 如图.四棱锥中.⊥底面.底面为梯形...且.点是棱上的动点. (Ⅰ)当∥平面时.确定点在棱上的位置, 的条件下.求二面角余弦值. 解:(Ⅰ)在梯形中.由..得.∴．又.故为等腰直角三角形．∴． 连接.交于点.则 ∥平面,又平面,∴ 在中.. 即时.∥平面 (Ⅱ)方法一:在等腰直角中.取中点.连结.则．∵平面⊥平面.且平面平面=.∴平面． 在平面内.过作直线于.连结.由..得平面.故．∴就是二面角的平面角． 在中.设.则. .. . 由.可知:∽.∴. 代入解得:． 在中..∴. ．∴二面角的余弦值为． 方法二:以为原点.所在直线分别为轴.轴.如图建立空间直角坐标系． 设.则....． 设.为平面的一个法向量.则..∴.解得.∴． 设为平面的一个法向量.则.. 又..∴.解得.∴． ∴二面角的余弦值为． 在四棱锥O-ABCD中.OA⊥平面ABCD.底面ABCD为矩形.AB=OA=tBC. (I)当t=1时.求证:BD⊥DC, (II)若BC边有且仅有一个点E.使得OE⊥ED.求此时二面角A-CD-E的正切值. 解:(I)当t=1时底面ABCD为正方形. 又因为 又 (II)因为AB.AD.AO两两垂直.分别以它们所在 直线为x轴.y轴.z轴建立坐标系.如图所示.令AB=1. 可得 则B. 设BE=m.则 要使 ∵BC边有且仅有一个点E.使得OE⊥ED. 所以BC边上有且仅有一个点E.使得OE⊥ED时.E为BC的中点.且 设面OED的法向量 则 即 解得 取平面OAD的法向量的大小与二面角A-DO-E的大小相等或互补. 所以 因此二面角A-OD-E的正切值为

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