一青蛙从点A₀（x₀，y₀）开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是A_i（x_i，y_i）（i∈N^*），（如图所示，A₀（x₀，y₀）坐标以已知条件为准），S_n表示青蛙从点A₀到点A_n所经过的路程．
（1）若点A₀（x₀，y₀）为抛物线y²=2px（p＞0）准线上一点，点A₁，A₂均在该抛物线上，并且直线A₁A₂经过该抛物线的焦点，证明S₂=3p．
（2）若点A_n（x_n，y_n）要么落在y=x所表示的曲线上，要么落在y=x²所表示的曲线上，并且A0(

1

2

，

1

2

)，试写出

lim

n→+∞

Sn（不需证明）；
（3）若点A_n（x_n，y_n）要么落在y=2

1+8x

-1所表示的曲线上，要么落在y=2

1+8x

+1所表示的曲线上，并且A₀（0，4），求S_n的表达式．