题目内容

(本题满分18分,其中第1小题4分,第2小题6分,第,3小题8分)

一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动,其落点坐标依次是,(如图所示,坐标以已知条件为准),表示青蛙从点到点所经过的路程。

(1) 若点为抛物线准线上

一点,点均在该抛物线上,并且直线

过该抛物线的焦点,证明.

(2)若点要么落在所表示的曲线上,

要么落在所表示的曲线上,并且,

试写出(不需证明);

(3)若点要么落在所表示的曲线上,要么落在所表示的曲线上,并且,求的表达式.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

解:(1)设,由于青蛙依次向右向上跳动,

所以,由抛物线定义知:            

(2) 依题意,

随着的增大,点无限接近点                            

横向路程之和无限接近,纵向路程之和无限接近       

所以 =                                              

(3)方法一:设点,由题意,的坐标满足如下递推关系:,且

其中                 

,即

是以为首项,为公差的等差数列,

所以当为偶数时,,于是

∴当为奇数时,        

为偶数时,

为奇数时,

所以,当为偶数时,

为奇数时,

所以,                        

 

方法二:由题意知      

其中

观察规律可知:下标为奇数的点的纵坐标为首项为,公比为的等比数列。相邻横坐标之差为首项为2,公差为1的等差数列。下标为偶数的点也有此规律。并由数学归纳法可以证明。                                                              

所以,当为偶数时,

为奇数时,                              

为偶数时,

为奇数时,    

所以,                     

 

【解析】略

 

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