题目内容
(本题满分18分,其中第1小题4分,第2小题6分,第,3小题8分)
一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动,其落点坐标依次是,(如图所示,坐标以已知条件为准),表示青蛙从点到点所经过的路程。
(1) 若点为抛物线准线上
一点,点,均在该抛物线上,并且直线经
过该抛物线的焦点,证明.
(2)若点要么落在所表示的曲线上,
要么落在所表示的曲线上,并且,
试写出(不需证明);
(3)若点要么落在所表示的曲线上,要么落在所表示的曲线上,并且,求的表达式.
解:(1)设,由于青蛙依次向右向上跳动,
所以,,由抛物线定义知: 分
(2) 依题意,
随着的增大,点无限接近点 分
横向路程之和无限接近,纵向路程之和无限接近 分
所以 = 分
(3)方法一:设点,由题意,的坐标满足如下递推关系:,且
其中 分
∴,即,
∴是以为首项,为公差的等差数列,
∴,
所以当为偶数时,,于是,
又
∴当为奇数时, 分
当为偶数时,
当为奇数时,
所以,当为偶数时,
当为奇数时,
所以, 分
方法二:由题意知
其中
观察规律可知:下标为奇数的点的纵坐标为首项为,公比为的等比数列。相邻横坐标之差为首项为2,公差为1的等差数列。下标为偶数的点也有此规律。并由数学归纳法可以证明。 分
所以,当为偶数时,
当为奇数时,
当为偶数时,
当为奇数时, 分
所以, 分
【解析】略