Question

一青蛙从点A₀（x₀，y₀）开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是A_i（x_i，y_i）（i∈N^*），（如图所示，A₀（x₀，y₀）坐标以已知条件为准），S_n表示青蛙从点A₀到点A_n所经过的路程．
（1）若点A₀（x₀，y₀）为抛物线y²=2px（p＞0）准线上一点，点A₁，A₂均在该抛物线上，并且直线A₁A₂经过该抛物线的焦点，证明S₂=3p．
（2）若点A_n（x_n，y_n）要么落在y=x所表示的曲线上，要么落在y=x²所表示的曲线上，并且A0(

1

2

，

1

2

)，试写出

lim

n→+∞

Sn（不需证明）；
（3）若点A_n（x_n，y_n）要么落在y=2

1+8x

-1所表示的曲线上，要么落在y=2

1+8x

+1所表示的曲线上，并且A₀（0，4），求S_n的表达式．

Answer 1

分析：（1）由于点A₀（x₀，y₀）为抛物线y²=2px（p＞0）准线上一点，可知A₀（-

p

2

，y0），由于青蛙依次向右向上跳动，直线A₁A₂经过该抛物线的焦点，所以A₁（

p

2

，y0），A₂（

p

2

，-y0），由抛物线定义可证；
（2）根据题意可得x_2n+1=

x2n-1

，x2n=x2n-1，y2n=y2n+1=x2n-1(n∈N*），由于青蛙从点A₀（x₀，y₀）开始依次水平向右和竖直向上跳动，所以可知随着n的增大，点A_n无限接近点（1，1），进而可得横向路程之和无限接近1-

1

2

=

1

2

，纵向路程之和无限接近1-

1

2

=

1

2

，故问题得解；
（3）由题意知A₁（1，2²），A₂（1，2⁴），A₃（3，2⁴），A₄（3，2⁶），A₅（6，2⁶），A₆（6，2⁸），…
其中A₁（1，2²），A₃（3，2⁴），A₅（6，2⁶），A₇（10，2⁸），…A₂（1，2⁴），A₄（3，2⁶），A₆（6，2⁸），A₈（10，2¹⁰）…观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为2²，公比为4的等比数列．相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列．下标为偶数的点也有此规律．再分类求和即可．

解答：解：（1）设A₀（-

p

2

，y0），由于青蛙依次向右向上跳动，
所以A₁（

p

2

，y0），A₂（

p

2

，-y0），由抛物线定义知：S₂=3p…4分
（2）依题意，x_2n+1=

x2n-1

，x2n=x2n-1，y2n=y2n+1=x2n-1(n∈N*）

lim

n→∞

Sn=|A0A1|+|A1A2|+|A2A3|+|A3A4|+…+|A2n-2A2n-1|+|A2n-1A2n|+…=（x₁-x₀）+（y₂-y₁）+（x₃-x₂）+（y₄-y₃）+（x₅-x₄）+…+（x_2n-1-x_2n）+（y_2n-y_2n-1）+…=2（x₁-x₀）+2（x₃-x₂）+2（x₅-x₄）+…+2（x_2n-1-x_2n）+…
随着n的增大，点A_n无限接近点（1，1）…6分
横向路程之和无限接近1-

1

2

=

1

2

，纵向路程之和无限接近1-

1

2

=

1

2

…8分
所以 

lim

n→+∞

Sn=

1

2

+

1

2

=1…10分
（3）由题意知A₁（1，2²），A₂（1，2⁴），A₃（3，2⁴），A₄（3，2⁶），A₅（6，2⁶），A₆（6，2⁸），…
其中A₁（1，2²），A₃（3，2⁴），A₅（6，2⁶），A₇（10，2⁸），…A₂（1，2⁴），A₄（3，2⁶），A₆（6，2⁸），A₈（10，2¹⁰）…
观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为2²，公比为4的等比数列．相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列．下标为偶数的点也有此规律．12分
所以，当n为偶数时，x_n=

n2

8

+

n

4

，yn=2n+2
当n为奇数时，x_n=

n2+4n+3

8

，yn=2n+1
当n为偶数时，S_n=（x_n+y_n）-（x₀+y₀）=（

n2

8

+

n

4

+2n+2）-4
当n为奇数时，S_n=（x_n+y_n）-（x₀+y₀）=（

n2+4n+3

8

+2n+1）-4…16分
所以，S_n=

( n2+4n+3 8 +2n+1)-4(n为奇数) ( n2 8 + n 4 +2n+2)-4(n为偶数)

…18分．

点评：本题的考点是圆锥曲线的综合，主要考查数列与圆锥曲线的结合，考查分类讨论思想，难度较大．关键是搞清运动过程中坐标之间的关系，挖掘问题的本题，从而使问题得解．