（2012•丰台区二模）已知平面上四个点A₁（0，0），A2(2

3

，2)，A3(2

3

+4，2)，A₄（4，0）．设D是四边形A₁A₂A₃A₄及其内部的点构成的点的集合，点P₀是四边形对角线的交点，若集合S={P∈D||PP₀|≤|PA_i|，i=1，2，3，4}，则集合S所表示的平面区域的面积为（　　）

（2013•松江区二模）如图，有以下命题成立：设点P，Q是线段AB的三等分点，则有

OP

+

OQ

=

OA

+

OB

．将此命题推广，设点A₁，A₂，A₃，A₄，A₅是线段AB的六等分点，则

OA1

+

OA2

+

OA3

+

OA4

+

OA5

=(

OA

+

OB

)．

（1）如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若

OA

=

a

，

OB

=

b

，试用

a

，

b

表示

OP

，

OQ

，并判断

OP

+

OQ

与

OA

+

OB

的关系；
（2）受（1）的启示，如果点A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．

过点P（1，0）作曲线C：y=x²（x＞0）的切线，切点为M₁，设点M₁在x轴上的投影是点P₁，又过点P₁作曲线C的切线，切点为M₂，设点M₂在x轴上的投影是点P₂，…依此下去，得到点列P₁，P₂，P₃，…，记它们的横坐标a₁，a₂，a₃，…构成数列{a_n}．
（Ⅰ）求a_n与a_n-1（n≥2）的关系式；
（Ⅱ）令bn=

n

an

，求数列{b_n}的前n项和．

已知点P（a1，b1），P2（a2，b2），...，Pn（an，bn）（n为整数）都在函数y=的图像上，且数列{a_n}是a₁=1，公差为d的等差数列。
（1）证明：数列{b_n}是公比为的等比数列；
（2）若公差d=1，以点P_n的横、纵坐标为边长的矩形面积为C_n，求最小的实数t，若使C_n<t（t∈R，t≠0）对一切正整数k恒成立；
（3）对（2）中的数列{a_n}，对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入2^k-1个3（如在a₁与a₂之间插入2⁰个3，
a₂与a₃之间插入2₁个3，a₃与a₄之间插入2²个3，依此类推），得到一个新的数列{d_n}，设S_n是数列
{d_n}的前n项和，试求S₁₀₀₀。