若函数f(x)=

a•2x-2

1+2x

(a∈R)是R上的奇函数
（1）求a的值，并利用定义证明函数f（x）在R上单调递增；
（2）解不等式：f(-2)+f(log

1

2

(2x))≥0．

利用性质解题
（1）已知y=f（x）是（-3，3）上的减函数，解不等式f（x+3）＞f（2-x）；
（2）定义在（-1，1）上的奇函数f（x）是减函数，且满足条件f（1-a）+f（1-2a）＜0，求a的取值范围．

（2008•奉贤区模拟）我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y=f（x）（x∈D），对任意x，y，

x+y

2

∈D均满足f(

x+y

2

)≥

1

2

[f(x)+f(y)]，当且仅当x=y时等号成立．
（1）若定义在（0，+∞）上的函数f（x）∈M，试比较f（3）+f（5）与2f（4）大小．
（2）给定两个函数：f1(x)=

1

x

(x＞0)，f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）．证明：f₁（x）∉M，f₂（x）∈M．
（3）试利用（2）的结论解决下列问题：若实数m、n满足2^m+2ⁿ=1，求m+n的最大值．

已知函数f(x)=

x+a

x2+bx+1

是奇函数，
（1）求实数a和b的值；
（2）判断函数y=f（x）在（1，+∞）的单调性，并利用定义加以证明．

（1）利用函数单调性的定义证明函数h(x)=x+

3

x

在[

3

，∞)上是增函数；
（2）我们可将问题（1）的情况推广到以下一般性的正确结论：已知函数y=x+

t

x

有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在(0，

t

]上是减函数，在[

t

，+∞)上是增函数．
若已知函数f(x)=

4x2-12x-3

2x+1

，x∈[0，1]，利用上述性质求出函数f（x）的单调区间；又已知函数g（x）=-x-2a，问是否存在这样的实数a，使得对于任意的x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，若不存在，请说明理由；如存在，请求出这样的实数a的值．