Question

已知函数f(x)=

x+a

x2+bx+1

是奇函数，
（1）求实数a和b的值；
（2）判断函数y=f（x）在（1，+∞）的单调性，并利用定义加以证明．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（0）=0，从而可求得a，又f（x）是奇函数，可求得b；
（2）由函数单调性的定义判断即可．任取x₁，x₂∈（1，+∞），设x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）后化积，判断符号即可．

解答：解：（1）∵f（x）=

x+a

x2+bx+1

是奇函数，
∴f（0）=

0+a

02+0•x+1

=0，
∴a=0；…（2分）
又因f（-x）=-f（x），即

-x

(-x)2+b(-x)+1

=-

x

x2+bx+1

，
∴b=0…（4分）
（2）函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减…．（6分）
证明：任取x₁，x₂∈（1，+∞），设x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

x1x22+x1-x12x2+x2

(x12+1)(x22+1)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

，…（8分）
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0；
∵x₁＞1，x₂＞1，
∴1-x₁x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）…（10分）
函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减…（12分）

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，着重考查函数的奇偶性与单调性的定义的应用，突出转化思想的考查，属于中档题．