摘要：.简记为:
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被誉为大自然的几何学的分形(Fractal)理论，是现代数学的一个新分支。希尔宾斯基三角形就是一个简单的分形例子，其作法如下：①以正三角形各边中点为顶点作三角形，将其内部涂黑，得到图F1；②对剩下未被涂黑的每个三角形进行上述操作，得到图F2；③重复步骤②，由此得到图形序列{Fn}，记第n步操作中被涂黑的三角形的个数为an，则数列{an}的通项公式是（ ）。
将边长为1的正三角形ABC按如图所示的方式放置，其中顶点A与坐标原点重合．记边AB所在直线的倾斜角为θ，已知
．
（Ⅰ）试用θ表示
的坐标（要求将结果化简为形如（cosα，sinα）的形式）；
（Ⅱ）定义：对于直角坐标平面内的任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），称|x1-x2|+|y1-y2|为P、Q两点间的“taxi距离”，并用符号|PQ|表示．试求|BC|的最大值．
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将边长为1的正三角形
按如图所示的方式放置，其中顶点
与坐标原点重合．记边
所在直线的倾斜角为
，已知
．
（Ⅰ）试用表示
的坐标（要求将结果化简为形如
的形式）；
（Ⅱ）定义：对于直角坐标平面内的任意两点
、
，称
为
、
两点间的“taxi距离” ，并用符号
表示．试求
的最大值．
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按如图所示的方式放置，其中顶点
与坐标原点重合．记边
所在直线的倾斜角为
，已知
．
的坐标（要求将结果化简为形如
的形式）； 
、
，称
为
、
两点间的“taxi距离” ，并用符号
表示．试求
的最大值．
按如图所示的方式放置，其中顶点
与坐标原点重合．记边
所在直线的倾斜角为
，已知
．
的坐标（要求将结果化简为形如
的形式）； 
、
，称
为
、
两点间的“taxi距离” ，并用符号
表示．试求
的最大值．