Question

将边长为1的正三角形按如图所示的方式放置，其中顶点与坐标原点重合．记边所在直线的倾斜角为，已知．

       （Ⅰ）试用表示的坐标（要求将结果化简为形如的形式）；

       （Ⅱ）定义：对于直角坐标平面内的任意两点、，称为、两点间的“taxi距离” ，并用符号表示．试求的最大值．

 

Answer 1

解：（Ⅰ）解法一：因为，， ……2分

所以        ………3分

．                   ………7分

解法二：平移到（移到，移到），………2分

由的坐标与的坐标相等，都等于点的坐标．………3分

由平几知识易得直线的倾斜角为，

∵，∴根据三角函数的定义可得，

所以． ………7分

（Ⅱ）解法一：，………8分

∵，∴，    ………9分

∴     ………11分

，              ………12分

所以当时，取得最大值．    ………13分

解法二：，………8分

∵，∴，即，

∴． ………9分

∵，∴，

∴,   ………10分

+

,    ………12分

所以当时，取得最大值．    ………13分