（2012•广东模拟）设奇函数f（x）对任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+

1

2

．
（1）求f(

1

2

)和f(

k

n

)+f(

n-k

n

)(k=0，1，2，…，n)的值；
（2）数列{a_n}满足：a_n=f（0）+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)-f(

1

2

)，数列{a_n}是等差数列吗？请给予证明；
（3）设m与k为两个给定的不同的正整数，{a_n}是满足（2）中条件的数列，
证明：

s

n=1

|

(m+1)nan+1

-

(kn+n+k+1)an

|＜(

s+1

2

)2|

m

-

k

|（s=1，2，…）．

（1）已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，若S_n=

1

4

（a_n+1）²．
①求{a_n}的通项公式；
②设m，k，p∈N^*，m+p=2k，求证：

1

Sm

+

1

Sp

≥

2

Sk

（2）若{a_n}是等差数列，前n项和为T_n，求证：对任意n∈N^*，T_n，T_n+1，T_n+2不能构成等比数列．

（1）已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，若S_n=

1

4

（a_n+1）²．
①求{a_n}的通项公式；
②设m，k，p∈N^*，m+p=2k，求证：

1

Sm

+

1

Sp

≥

2

Sk

（2）若{a_n}是等差数列，前n项和为T_n，求证：对任意n∈N^*，T_n，T_n+1，T_n+2不能构成等比数列．

（2012•威海一模）设{a_n}是单调递增的等差数列，S_n为其前n项和，且满足4S₃=S₆，a₂+2是a₁，a₁₃的等比中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）是否存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2？说明理由；
（III）若数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1-b_n=a_n，求数列{b_n}的通项公式．

设数列{a_n}的前n项积为T_n，已知对?n，m∈N₊，当n＞m时，总有

Tn

Tm

=Tn-m•q(n-m)m（q＞0是常数）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设正整数k，m，n（k＜m＜n）成等差数列，试比较T_n•T_k和（T_m）²的大小，并说明理由；
（3）探究：命题p：“对?n，m∈N₊，当n＞m时，总有

Tn

Tm

=Tn-m•q(n-m)m（q＞0是常数）”是命题t：“数列{a_n}是公比为q（q＞0）的等比数列”的充要条件吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．