Question

设数列{a_n}的前n项积为T_n，已知对?n，m∈N₊，当n＞m时，总有

Tn

Tm

=Tn-m•q(n-m)m（q＞0是常数）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设正整数k，m，n（k＜m＜n）成等差数列，试比较T_n•T_k和（T_m）²的大小，并说明理由；
（3）探究：命题p：“对?n，m∈N₊，当n＞m时，总有

Tn

Tm

=Tn-m•q(n-m)m（q＞0是常数）”是命题t：“数列{a_n}是公比为q（q＞0）的等比数列”的充要条件吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设m=1，则有

Tn

T1

=Tn-1•qn-1，从而可得an=a1•qn-1，即可证得数列{a_n}是等比数列；
（2）当q=1时，T_n•T_k=a1n+k=a12m=Tm2；当q≠1时，an=a1•qn-1，Tn=a1n•q

n(n-1)

2

，从而可得T_n•T_k=a1n•q

n(n-1)

2

•a1k•q

k(k-1)

2

=a1n+k•q

n(n-1)+k(k-1)

2

，根据Tm2=a12m•qm(m-1)，n+k=2m，k＜m＜n，利用基本不等式，即可得到结论；
（3）证明：由（1）知，充分性成立；
必要性：利用q≠1时，an=a1•qn-1，Tn=a1n•q

n(n-1)

2

，可证得

Tn

Tm

=Tn-m•q(n-m)m，同理可证，当q=1时，也成立，故得证．

解答：（1）证明：设m=1，则有

Tn

T1

=Tn-1•qn-1，∴

Tn

Tn-1

=a1•qn-1
∴an=a1•qn-1
∴n≥2时，

an

an-1

=q
∴数列{a_n}是等比数列；
（2）解：当q=1时，a_n=a₁，∴Tn=a1n，∴T_n•T_k=a1n+k=a12m=Tm2
当q≠1时，an=a1•qn-1，Tn=a1n•q

n(n-1)

2

∴T_n•T_k=a1n•q

n(n-1)

2

•a1k•q

k(k-1)

2

=a1n+k•q

n(n-1)+k(k-1)

2

∵Tm2=a12m•qm(m-1)，n+k=2m，k＜m＜n
∴a12m=a1n+k，

n(n-1)+k(k-1)

2

=

n2+k2

2

-m＞(

n+k

2

)2-m=m2-m
∴q＞1时，T_n•T_k＞Tm2；q＜1时，T_n•T_k＜Tm2
（3）证明：由（1）知，充分性成立；
必要性：若数列{a_n}是公比为q（q＞0）的等比数列，则an=a1•qn-1
∴q≠1时，Tn=a1n•q

n(n-1)

2

∴

Tn

Tm

=

a1n•q n(n-1) 2

a1m•q m(m-1) 2

=a1n-mq

(n-m)(n+m+1)

2

Tn-m•q(n-m)m=a1n-m•q

(n-m)(n-m-1)

2

•q^（n-m）m=a1n-mq

(n-m)(n+m+1)

2

∴

Tn

Tm

=Tn-m•q(n-m)m
∴对?n，m∈N₊，当n＞m时，总有

Tn

Tm

=Tn-m•q(n-m)m（q＞0是常数）
同理可证，当q=1时，也成立
∴命题p：“对?n，m∈N₊，当n＞m时，总有

Tn

Tm

=Tn-m•q(n-m)m（q＞0是常数）”是命题t：“数列{a_n}是公比为q（q＞0）的等比数列”的充要条件．

点评：本题考查等比数列的定义，考查新定义，考查充要性的证明，综合性强，难度大．